หน่วย และมิติ
ความนิยมของผู้ชม: / 12
แย่มากดีมาก 
       
หน่วย และมิติ

คำจำกัดความ

  • มิติ (Dimensions) คือ มโนทัศน์พื้นฐานด้านการวัด ได้แก่ ความยาว เวลา มวล อุณหภูมิ เป็นต้น
  • หน่วย (Units) คือ วิธีการแสดงขนาดของมิติ ได้แก่ เมตร วินาที กรัม เคลวิน เป็นต้น
  • หน่วยพื้นฐาน (Base unit) คือ หน่วยของมิติที่เป็นอิสระใช้ระบุเพียงมิติเดียว
  • หน่วยอนุพันธ์ (Derived unit) คือ ผลรวมของมิติต่างๆ เช่น หน่วยของแรง ซึ่งประกอบด้วยหน่วยของมวลสาร ความยาว และเวลา
  • ความแม่นยำ (Precission) คือ ความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยความถูกต้อง (Accuracy) คือ ความห่างหรือเบี่ยงเบนไปจากค่ามาตรฐาน หรือค่าจริง

หน่วย และ มิติ

ในการ บวก ลบ คูณ หาร ตัวเลขพึงระลึกไว้เสมอว่าเมื่อมีตัวมีตัวเลขจะต้องมีหน่วยอยู่ด้วยเสมอ การระบุหน่วยตามหลังตัวเลขทุกครั้งจะมีประโยชน์ หลายประการ เช่น ช่วยไม่ให้มีการเปลี่ยนหน่วยระหว่างการคำนวณโดยไม่ตั้งใจ ช่วยให้แก้ปัญหาโดยใช้เหตุผลช่วยแทนที่จะต้องจำสูตรยากๆ และเป็นการแสดงแสดงความหมายของตัวเลขที่ใช้อยู่ด้วย

กฎง่าย ๆ สำหรับการคำนวณเกี่ยวกับหน่วยคือ ให้ทำเช่นเดียวกับตัวเลข หรือ เครื่องหมายทางพีชคณิต โดยสามารถบวกลบตัวเลขที่มีหน่วยเดียวกันได้ หรือถ้าตัวเลขนั้นมีหน่วยต่างกันอยู่ในมิติเดียวกันก็ยังสามารถบวกลบกันได้ แต่ต้องทำการแปลงหน่วยให้เหมือนกันเสียก่อน เช่น 1ฟุต บวกกับ 3 นิ้ว ได้ ต้องแปลงต้องแปลงหน่วยหนึ่งหน่วยใดเสียก่อน เช่น แปลง 1 ฟุต ไปเป็น 12 นิ้ว เป็นต้น ส่วนการคูณ หารนั้น ให้คูณหารหน่วยไปพร้อมๆ กับการคูณตัวเลข

ระบบหน่วย

แต่เดิมระบบการวัดมี 5 ระบบด้วยกันได้แก่ CGS , FPS , SI ซึ่งเป็นระบบใหม่ล่าสุด ทั้ง 3 ระบบนี้เป็นระบบสัมบูรณ์ (Absolute system) ส่วนอีก 2 ระบบ ได้แก่ ระบบ British Engineering และ American Engineering ซึ่งเป็นระบบแรงโน้มถ่วง (Gravitational systems) ความแตกต่างของระบบทั้ง 5 นี้แสดงไว้ในตารางที่ 1

ตารางที่1 แสดงระบบหน่วย

CGS
FPS
SI
British Engineering
American Engineering
ระยะทาง
cm
ft
m
ft
ft
มวล
gram
lb
kilogram
slug
pound mass
เวลา
sec
hr
sec
hr
hr
อุณหภูมิ
K, oC
oR, oF
K
oR, oF
oR, oF
แรง
erg,joule,calorie
ft-poundal
joule
Btu, ft-lb, ft-lbf
Btu, hp-hr

แต่ละหน่วยของแรงมีค่าเท่ากับมวลสาร 1 หน่วยคูณด้วยอัตราเร่ง 1 หน่วยตามกฎข้อ 2 ของนิวตัน (F = ma)

ตารางที่2 แสดงความสัมพันธ์ของหน่วยแรง

ระบบการวัด ความสัมพันธ์ของหน่วยแรง
CGS 1dyne = 1 g x 1 cm/s2
FPS 1 pdl = 1 lb x 1 ft /s2
SI 1 N = 1 kg x 1 m/s2
British Engineering 1 lbf = 1 sl x 1 ft /s2
American Engineering 1 lbf = 1 sl x 1 ft /s2

การใช้หน่วยในระบบ SI

ส่วนใหญ่ตัวย่อของหน่วยในระบบ SI มักใช้ตัวอักษรอังกฤษตัวเล็กเป็นสัญลักษณ์แทน เช่น h (hour;ชั่วโมง ) m (metre;เมตร) ยกเว้นสัญลักษณ์ของหน่วยที่ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรจิตามชื่อบุคคลแล้ว จึงจะใช้ตัวอักษรตัวใหญ่เป็นชื่อนำหน้า เช่น N(Newton;นิวตัน), Pa(Pascal;ปาสคาล), J(Joule;จูล) เป็นต้น

ในกรณีที่จำนวนของตัวเลขมีปริมาณมากหรือน้อยเกินกว่าปกติ ในระบบ SI จะใช้ตัวนำหน้าหน่วยแทน ตัวนำหน้านี้คือวิธีเพิ่มหรือลดค่าดัชนีของสิบที่ใช้กับหน่วยพื้นฐานและเขียนเป็นตัวย่อ เช่น 103g เท่ากับ 1 kg(kilogram;กิโลกรัม) จะเห็นว่าตัวย่อของตัวนำหน้าหน่วยบางตัวก็เขียนเป็นตัวอักษรตัวใหญ่ บางตัวก็เล็ก ดังแสดงในตารางที่ 3 ซึ่งทั้งนี้ขึ้นอยู่กับชื่อที่ตั้งขึ้น และมีข้อควรระวังในการเขียนตัวย่อของตัวนำหน้าหน่วย กล่าวคือจะต้องเขียนให้ชิดกับหน่วยเลย มิฉะนั้นแล้วความหมายของหน่วยนั้นจะผิดไปทันที เช่นต้องการเขียนเป็นมิลลินิวตัน(mN) ถ้าเขียนห่างกันเป็น m N อาจเข้าใจผิดเป็นเมตรนิวตัน หรือ นิวตันเมตร ซึ่งหมายถึงหน่วยของแรงบิด

ตารางที่3 คำนำหน้าหน่วยในระบบ SI

แฟคเตอร์ คำนำหน้า สัญลักษณ์ แฟคเตอร์ คำนำหน้า สัญลักษณ์
1018 Exa E 10-1 Deci d
1015 Peta P 10-2 Centi c
1012 Tera T 10-3 Milli m
109 Giga G 10-6 Micro m
106 Mega M 10-9 Nano n
103 Kilo k 10-12 Pico p
102 Hecto h 10-15 Femto f
101 Deca da 10-18 Atto a

ตารางที่4 หน่วยมูลฐานทั้ง 7 ในระบบ SI

มิติ
ชื่อหน่วย
สัญลักษณ์
ระยะทาง เมตร(metre) m
มวล กิโลกรัม(kilogram) kg
เวลา วินาที(second) s
กระแสไฟฟ้า แอมแปร์(ampere) A
อุณหภูมิ เคลวิน(kelvin) K
ปริมาณสาร โมล(mole) mol
ความเข้มแสง กองเดลลา(candela) cd

ตารางที่5 หน่วยอนุพันธ์บางตัวในระบบ SI

มิติ ชื่อหน่วย สัญลักษณ์
พื้นที่ ตารางเมตร m2
ปริมาตร ลูกบาศก์เมตร m3
ความถี่ เฮิร์ทซ Hz หรือ s-1
ความหนาแน่นมวล กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร kg/m3
ความเร็ว เมตรต่อวินาที m/s
ความเร็วเชิงมุม เรเดียนต่อวินาที rad/s
ความเร่ง เมตรต่อวินาทีกำลังสอง m/s2
ความเร่งเชิงมุม เรเดียนต่อวินาทีกำลังสอง rad/s2
แรง นิวตัน N หรือ kg m/s2
ความดัน ปาสคาล Pa หรือ N/m2
งาน จูล J หรือ N m
พลังงาน ปริมาณความร้อน วัตต์ W หรือ J/s
กำลัง คูลอมบ์ C หรือ A s
ปริมาณประจุไฟฟ้า โวลต์ V หรือ W/A
ความต่างศักย์ แรงขับเคลื่อนไฟฟ้า โวลต์ต่อเมตร V/m
ความเข้มสนามแม่เหล็ก นิวตันต่อแอมแปร์เมตร หรือ เทสลา t หรือ N/A m
เอนโทรปี จูลต่อเคลวิน J/K
ความร้อนจำเพาะ จูลต่อกิโลกรัม เคลวิน J/(kg K)
ค่าการนำความร้อน วัตต์ต่อเมตร เคลวิน W/(m K)

ตารางที่ 6 หน่วยอนุโลมในระบบ SI

มิติ ชื่อหน่วย สัญลักษณ์
มุมระนาบ เรเดียน rad
มุมตัน สเตอเรเดียน sr

ตัวเลขนัยสำคัญ

การรายงานผลทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ ตัวเลขทุกตัวมีความหมาย จำนวนบ่งว่ามากน้อย ส่วนตัวเลขบ่งบอกถึงความแม่นยำของจำนวนนั้น ยกตัวอย่าง เช่น 2. 4517กรัม หมายความว่า มวลนี้หนักเพียง 2 กรัม และวัดความแน่นอนถึงเศษหนึ่งส่วนหมื่นกรัม ตัวเลขทั้ง 5 ตัวที่ประกอบเป็นจำนวนนี้ เรียกว่า เลขนัยสำคัญ ถ้าเขียน 2.45 กรัม ย่อมหมายความว่า มวลนั้นหนัก 2 กรัม เช่นกัน แต่วัดได้ความแน่นอนถึงเศษหนึ่งส่วนร้อย ในที่นี้ตัวเลขนัยสำคัญมีเพียง 3 ตัว ในการแสดงจำนวนและตัวเลขในการคำนวณจึงต้องระลึกถึงเลขนัยสำคัญนี้ให้มาก

ตัวอย่าง เช่น

0.216 มีเลขนัยสำคัญ 3
90.7 มีเลขนัยสำคัญ 3
900.0 มีเลขนัยสำคัญ 4
0.064 มีเลขนัยสำคัญ 3
1.09 x 10-6 มีเลขนัยสำคัญ 3
3,000 มีเลขนัยสำคัญ 4
1.00 มีเลขนัยสำคัญ 3

ความไม่แน่นอนของตัวเลขมี 2 ลักษณะคือ ความไม่แน่นอนสัมบูรณ์และ ความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ ตัวเลขแต่ละตัวสามารถคำนวณ บวกลบ คูณ หาร ได้โดยแสดงผลของคำตอบที่ได้ต่างกัน ถ้าเป็นการบวก ลบ จะอ้างอิงกับความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ แต่ถ้าเป็นการคูณหาร จะอ้างอิงกับความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ ดังแสดงในตัวอย่างข้างล่างต่อไปนี้

ตัวเลข ความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ ความไม่แน่นอนสัมพัทธ์
0.475 + 0.01 + 1 / 475
10.76 + 0.01 + 1 / 1076
4.20 x 10-7 + 0.01 + 1 / 420
382 + 1 + 1 / 382

วิธีการแสดงผลจากการบวก ลบ คูณ หาร

  • การบวกลบ

ให้พิจารณาหลักของความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ โดยเทียบเฉพาะตัวเลขนัยสำคัญตัวสุดท้ายเท่านั้น ไม่พิจารณาถึงจำนวนตัวเลขนัยสำคัญที่มี ในการรายงานผลให้ผลของคำตอบที่ได้หลังจากการบวกลบ มีค่าความไม่แน่นอนสัมบูรณ์เท่ากับตัวที่มีค่าความไม่แน่นอนสัมบูรณ์มากที่สุด

ตัวอย่างเช่น 60.3 + 1.05 - 0.162

คำตอบที่ได้จากการบวกลบปกติเท่ากับ 61.188 แต่ในการตอบนั้นต้องคำนึงถึงหลักความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ที่มากที่สุด ...

จากตัวเลขที่โจทย์กำหนดมา เราสามารถทราบถึงความไม่แน่นอนสัมบูรณ์ได้

ตัวเลข ความไม่แน่นอนสัมบูรณ์
60.3 + 0.1
1.05 + 0.01
0.162 + 0.001
คำตอบจากการคำนวณ 61.188 + 0.1

เพราะฉะนั้นคำตอบคือ 61.2

  • การคูณหาร

พิจารณาหลักของความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ คำตอบที่ได้ตอบโดยเทียบกับค่าที่มีค่าความไม่แน่นอนสัมพัทธ์มากที่สุด หรืออีกนัยนึงคือ เลขที่มีเลขนัยสำคัญน้อยสุด

ตัวอย่างเช่น 21.1 x 0.029 x 83.2

คำตอบที่ได้จากการคูณหารปกติคือ 50.91008 แต่ในการตอบนั้นต้องคำนึงถึงหลักความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ที่มากที่สุด ...

ตัวเลข ความไม่แน่นอนสัมพัทธ์
21.1 1 / 211
0.029 1 / 29
83.2 1 / 832
คำตอบจากการคำนวณ 50.91008 อยู่ในช่วงระหว่าง 1/145 ถึง 1/14.5

การรายงานผลคูณหารนั้น เมื่อทราบค่าความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ที่มากที่สุดแล้ว การรายงานผลคำตอบที่ได้ คำตอบต้องมีค่าความไม่แน่นอนสัมพัทธ์จากค่าความไม่แน่นอนสัมพัทธ์มากที่สุด 20 % แต่ไม่เกิน 2 เท่า เช่น ได้ค่าความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ 1 / 29 ช่วงของความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ของคำตอบควรจะอยู่ในช่วง 1 /145 แต่ไม่เกิน 2 / 29

เงื่อนไขช่วงคำตอบ ความไม่แน่นอนสัมพัทธ์
20 % 1/29 x 20% = 1/145
2 เท่า 1/29 x 2 = 1/14.5

คำตอบจากการคำนวณเท่ากับ 50.91008 การตอบควรจะตอบว่า 51 ( มีค่าความแน่นอนสัมพัทธ์ 1/51) เพราะมีช่วงของความไม่แน่นอนสัมพัทธ์อยู่ในช่วงระหว่าง 1/145 และ1/14.5

วิธีการแปลงหน่วย

เมื่อรู้จักกับระบบและหน่วยต่างๆ ทั้งทางวิทยาศาสตร์ หน่วยทางเคมี ฟิสิกส์ และทางวิศวกรรมแล้ว ในหัวข้อนี้จะแสดงวิธีการแปลงหน่วยของค่าคงที่ หรือตัวแปร หน่วยของสมการ ตลอดจน เลขไร้มิติ การเปลี่ยนหน่วยจำเป็นต้องเขียนหน่วย การเปลี่ยนหน่วยเราใช้ปัจจัยการแปลงหน่วยคูณกับหน่วยที่กำหนด โดยวิธีต่อไปนี้

1. ใส่หน่วยที่ต้องการไว้ทางขวามือ

2. ใส่ตัวเลขและหน่วยที่กำหนดทางซ้ายมือสุด

3. คูณตัวเลขและหน่วยที่กำหนดด้วยปัจจัยแปลงหน่วยในรูปอัตราส่วน

4. ทำการตัดทอนหน่วยตามหลักคณิตศาสตร์จนหน่วยที่กำหนดหายไปเหลือหน่วยที่ต้องการ ส่วนตัวเลขให้ทำตามหลักคณิตศาสตร์เช่นกัน

The Dimensional Constant

การวัดในระบบ American Engineering หน่วยของแรงและหน่วยของมวล ต่างก็ใช้ปอนด์เหมือนกัน เราต้องแยกแยะให้ออกว่าอยู่ในมิติใด เพื่อลดความสับสนระหว่างหน่วยของทั้งสองนี้ จึงนิยมเขียนปอนด์แรงเป็น lbf และ ปอนด์มวลเป็น lbm

เนื่องจากแรงดึงดูดของโลกคือ น้ำหนักของมวลสารใดๆ ในระบบ American Engineering น้ำหนักของมวลสาร 1 lbm มีค่าเท่ากับ 1lbf

ดังนั้นการทำให้ lbf และ lbm เกิดความเท่าเทียมกันทำได้โดยเพิ่มfactor เข้าในสมการ ถ้าหน่วยของแรงและมวลอยู่ในสมการเดียวกัน factor ดังกล่าวคือ dimensional constant gc

dimensional constant gcได้มาจากกฎข้อ 2 ของนิวตัน

แรง = มวล x ความเร่ง

แทนค่า lbf = lbm x ft / s2


การวัดค่าในระบบ American Engineering ถือว่า น้ำหนักหรือแรงที่ใช้ในการดึงมวล 1 ปอนด์ ใช้แรงเท่ากับ 1 ปอนด์ ดังนั้นจึงต้องคูณ dimensional constant gc เข้าไปใน lbm เพื่อที่ได้ค่าเท่ากับ 1 lbf

llbf = lbm x ft / s2 x gc

เนื่องจากค่า g ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกเท่ากับ 32.2 ft / s2 ค่า gc จึงต้องมีค่าเท่ากับ ค่า g เพื่อให้เลขตัดกันหมด

ดังนั้น gc มีค่าเท่ากับ 32.2 lbm ft / (lbf s2)

การแปลงหน่วย

การเปลี่ยนหน่วยของสมการนั้นกระทำได้ 2 วิธี คือ

1. แปลงหน่วยของค่าคงที่หรือตัวแปรแต่ละตัวในสมการให้อยู่ในหน่วยที่ต้องการแล้วจึงนำมาแทนในสมการภายหลัง

2. แทนหน่วยของตัวแปรทุกตัวลงในสมการเพื่อตัดทอนกันให้ได้หน่วยของค่าคงที่ของสมการเสียก่อนแล้วจึงแปลงหน่วยของค่าคงที่ของสมการนั้น ถ้าตัวแปรเป็นตัวแปรยกกำลังต้องไม่ลืมใส่เลขยกกำลังให้กับหน่วยเช่นเดียวกับตัวแปร

ทั้ง 2 วิธีนี้จะให้คำตอบเท่ากัน

หลักการแปลงหน่วยที่สำคัญที่สำคัญคือ

1. หน่วยทางขวามือ = หน่วยทางซ้ายมือ

2. การที่ตัวเลขจะบวกลบกันได้ต้องมีหน่วยเหมือนกันเสมอ

3. หน่วยสามารถตัดกันได้ หรือ ยกกำลังได้


 

เวบไซต์นี้เหมาะกับการแสดงในโหมด 800x600 พิกเซล ด้วย IE 4.0ขึ้นไป

 

 


Views: 18046

Be first to comment this article

Only registered users can write comments.
Please login or register.

Powered by AkoComment Tweaked Special Edition v.1.4.6
AkoComment © Copyright 2004 by Arthur Konze - www.mamboportal.com
All right reserved

 
< ก่อนหน้า   ถัดไป >

Statistics

สถิติผู้เยี่ยมชม: 42295599

Who's Online

ขณะนี้มี 12 บุคคลทั่วไป ออนไลน์